「一覧に表示する > 載せない」で登録したコンテンツをAPIのレスポンスに含めることはできますか？

可能です。
一覧に載せないデータも取得するためのパラメータ(get_unlisted_data)がございますので、有効にしてレスポンスを確認してください。

設定方法

APIのエンドポイント一覧で、Topics::list のエンドポイントの[更新]をクリックします。

詳細設定のget_unlisted_dataのパラメータにチェックを入れて更新します。

レスポンスの確認

エンドポイントを設定したAPIの[Suwagger UI]をクリックします。

対象のエンドポイントの[Try it out]をクリックします。

[Execute]をクリックします。

「一覧に表示する > 載せない」で登録したコンテンツもレスポンスされていることが分かります。
「載せない」に設定したコンテンツはtopics_flgが0になります。